По данным на рисунке найдите ОК, если BM=3, AM = 8, ∠KOM = 60° и точка ОА 15. центр окружности.

Question

Вопрос:

Ответ:

Accepted Answer

Краткое пояснение: Используем теорему косинусов и свойства прямоугольных треугольников.

Логика такая:

OM = AM - AO = 8 - AO.
OB = OK + KB = OK + 3 (так как KB = BM = 3, как радиусы).
Так как O — центр окружности, то AO = OB.
Пусть OK = x, тогда AO = OB = x + 3.
OM = 8 - (x + 3) = 5 - x.
Применим теорему косинусов к треугольнику KOM: KM² = OK² + OM² - 2 * OK * OM * cos(∠KOM).
KM² = x² + (5 - x)² - 2 * x * (5 - x) * cos(60°).
KM² = x² + 25 - 10x + x² - 2 * x * (5 - x) * 0.5.
KM² = 2x² - 10x + 25 - x * (5 - x).
KM² = 2x² - 10x + 25 - 5x + x².
KM² = 3x² - 15x + 25.

Дальнейшие вычисления

Треугольник OKB — прямоугольный, так как OK — высота, проведённая из вершины O к стороне AB.
В прямоугольном треугольнике OKB: KB² + OK² = OB².
3² + x² = (x + 3)².
9 + x² = x² + 6x + 9.
6x = 0.
x = 0.
Если OK = 0, то точка O совпадает с точкой K, что противоречит условию задачи.
Рассмотрим треугольник KOM. Он равнобедренный, так как ∠KOM = 60°.
В равнобедренном треугольнике KOM: OK = OM.
x = 5 - x.
2x = 5.
x = 2.5.

Ответ: 2.5