749 Отрезок АН - перпендикуляр, проведённый из точки А к прямой, проходящей через центр О окружности ради- уса 3 см. Является ли прямая АН касательной к окружно- сти, если: а) ОА = 5 см, АН = 4 см; б) ∠HAO=45°, OA = 4 см; B) ZHAO = 30°, ОА = 6 см?

Чтобы прямая АН являлась касательной к окружности, необходимо, чтобы угол между радиусом ОА и прямой АН был прямым (90°). Воспользуемся теоремой Пифагора.

1. а) ОА = 5 см, АН = 4 см. Если треугольник ОАН прямоугольный, то выполняется теорема Пифагора: $$OA^2 = AH^2 + OH^2$$. Проверим: $$5^2 = 4^2 + 3^2$$, $$25 = 16 + 9$$, $$25 = 25$$. Равенство выполняется, значит, треугольник ОАН прямоугольный, и прямая АН является касательной к окружности.

2. б) ∠HAO=45°, OA = 4 см. В прямоугольном треугольнике ОАН угол ∠AHO должен быть 90°. Если ∠HAO=45°, то ∠AOH = 180° - 90° - 45° = 45°. Так как катет OH = OA * cos(∠AOH) = 4 * cos(45°) = 4 * ($$\sqrt{2}$$ / 2) = 2 * $$\sqrt{2}$$. OH ≈ 2 * 1.41 = 2.82 см. Так как радиус окружности 3 см, а OH ≈ 2.82 см, то АН не является касательной к окружности.

3. в) ∠HAO = 30°, ОА = 6 см. В прямоугольном треугольнике ОАН угол ∠AHO должен быть 90°. Если ∠HAO=30°, то ∠AOH = 180° - 90° - 30° = 60°. Так как катет OH = OA * cos(∠AOH) = 6 * cos(60°) = 6 * (1/2) = 3 см. OH = 3 см, что соответствует радиусу окружности. Значит, АН является касательной к окружности.

Ответ: а) является; б) не является; в) является.