Отрезки AC и BD — диаметры окружности с центром в точке O. Угол ACB равен 62°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Треугольник ACB является прямоугольным, так как опирается на диаметр AB. Следовательно, \( \angle ABC = 90^{\circ} \).

В треугольнике ACB сумма углов равна 180°:

\( \angle CAB + \angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ} \)

\( \angle CAB + 90^{\circ} + 62^{\circ} = 180^{\circ} \)

\( \angle CAB = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 62^{\circ} = 28^{\circ} \)

Углы AOD и COB — вертикальные, поэтому \( \angle AOD = \angle COB \).

Углы AOD и AOC — смежные, сумма равна 180°.

Рассмотрим треугольник COB. OC и OB — радиусы, поэтому \( \triangle COB \) — равнобедренный.

\( \angle OBC = \angle OCB = 62^{\circ} \) (но это неверно, так как \( ∠ ACB = 62^\text{o} ∠ ∠ \)).

Рассмотрим \( ∠ AOC ∠ \). \( ∠ AOC = 180^\text{o} - ∠ COB ∠ \).

Углы \( ∠ BAC ∠ \) и \( ∠ BDC ∠ \) опираются на одну дугу BC, значит \( ∠ BDC = ∠ BAC = 28^\text{o} \).

В \( ∠ ∠ BCD ∠ \) углы \( ∠ BDC = 28^\text{o} ∠ \) и \( ∠ CBD = 90^\text{o} - 62^\text{o} = 28^\text{o} ∠ \). Значит, \( ∠ ∠ BCD ∠ \) равнобедренный.

Вернемся к \( ∠ AOC ∠ \). \( ∠ AOC = 180^\text{o} - ∠ COB ∠ \). \( ∠ COB = 180^\text{o} - ∠ OBC - ∠ OCB = 180^\text{o} - 2 ∠ OBC ∠ \).

Угол \( ∠ BOC ∠ \) равен удвоенному вписанному углу \( ∠ BAC ∠ \), который опирается на дугу BC. \( ∠ BAC = 28^{\circ} \).

\( \angle BOC = 2 ∠ BAC = 2 ∠ 28^{\circ} = 56^{\circ} \).

Углы AOD и BOC — вертикальные, следовательно, \( \angle AOD = \angle BOC = 56^{\circ} \).

Ответ: 56°.