466. Основание равнобедренного треугольника равно 18 см, а один из уг- лов - 120°. Найдите высоту треугольника, проведённую из вершины угла при его основании.

Пусть дан равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC, AC = 18 см, ∠B = 120°.

Найдем углы при основании:

$$∠A = ∠C = \frac{180° - 120°}{2} = 30°$$

Проведем высоту BH к стороне AC.

Рассмотрим треугольник ABH, где ∠BHA = 90°, ∠A = 30°.

AH = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \cdot 18 = 9 \text{ см}$$

Высота BH является катетом, лежащим против угла 30°, следовательно, гипотенуза AB в два раза больше высоты BH.

$$sinA = \frac{BH}{AB}$$ $$sin30° = \frac{BH}{AB}$$ $$\frac{1}{2} = \frac{BH}{AB}$$ $$AB = 2BH$$

По теореме Пифагора:

$$AB^2 = BH^2 + AH^2$$ $$(2BH)^2 = BH^2 + 9^2$$ $$4BH^2 = BH^2 + 81$$ $$3BH^2 = 81$$ $$BH^2 = 27$$ $$BH = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \text{ см}$$

Ответ: $$3\sqrt{3}$$ см.