461. Один из углов прямоугольного треугольника равен 30°, а разность гипо- тенузы и меньшего катета – 5 см. Найдите эти стороны треугольника.

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где ∠A = 30°, ∠B = 90°.

Пусть гипотенуза AC = x, тогда меньший катет (лежащий против угла 30°) BC = x - 5.

Катет BC равен половине гипотенузы (свойство угла 30° в прямоугольном треугольнике):

$$\frac{1}{2}AC = BC$$

Составим уравнение:

$$\frac{1}{2}x = x - 5$$ $$x = 2x - 10$$ $$x = 10 \text{ см}$$

Гипотенуза AC = 10 см, катет BC = 10 - 5 = 5 см.

Найдем катет AB по теореме Пифагора:

$$AB = \sqrt{AC^2 - BC^2} = \sqrt{10^2 - 5^2} = \sqrt{100 - 25} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3} \text{ см}$$

Ответ: AC = 10 см, BC = 5 см, AB = $$5\sqrt{3}$$ см.