24. Окружности с центрами в точках Ри О не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении а:в. До- кажите, что диаметры этих окружностей относятся как а:в.

Пусть окружности с центрами в точках P и Q имеют радиусы r1 и r2 соответственно. Пусть внутренняя общая касательная касается окружности с центром P в точке A, а окружности с центром Q в точке B. Пусть точка C - точка пересечения касательной AB и отрезка PQ.

Треугольники PAC и QBC подобны по двум углам (углы PAC и QBC прямые, а углы PCA и QCB равны как вертикальные).

Тогда PC / QC = PA / QB = r1 / r2.

По условию PC / QC = a / b. Значит, r1 / r2 = a / b.

Тогда 2r1 / 2r2 = a / b. Диаметры относятся как a:b.

Ответ: Доказано