59. Объем правильной четырехугольной пирамиды равен 48, высота 4. Найти площадь боковой поверхности пирамиды.

Объем правильной четырехугольной пирамиды вычисляется по формуле $$V = \frac{1}{3}S_{осн} h$$, где $$S_{осн}$$ - площадь основания, $$h$$ - высота пирамиды. Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей боковых граней.

1) Найдем площадь основания пирамиды:

$$48 = \frac{1}{3}S_{осн} \cdot 4$$;

$$S_{осн} = \frac{48 \cdot 3}{4} = 36$$.

2) Так как пирамида правильная четырехугольная, то в основании лежит квадрат. Найдем сторону основания:

$$a^2 = 36$$;

$$a = \sqrt{36} = 6$$.

3) Найдем апофему пирамиды. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, половиной стороны основания и апофемой. По теореме Пифагора:

$$l^2 = h^2 + (\frac{a}{2})^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$$;

$$l = \sqrt{25} = 5$$.

4) Площадь боковой поверхности пирамиды:

$$S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot l$$, где $$P$$ - периметр основания, $$l$$ - апофема.

$$S_{бок} = \frac{1}{2} (4 \cdot 6) \cdot 5 = 2 \cdot 6 \cdot 5 = 60$$.

Ответ: 60