Найти значение выражения $$sin^4 α - cos^4 α$$, если $$sin 2α = -\frac{\sqrt{3}}{4}$$ и $$\frac{15\pi}{4} < α < -\frac{13\pi}{4}$$

Дано: $$\sin 2\alpha = -\frac{\sqrt{3}}{4}$$, $$\frac{15\pi}{4} < \alpha < \frac{13\pi}{4}$$.

Найти: $$\sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha$$.

Решение:

$$\sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha = (\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha)(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) = -(\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) = -cos 2\alpha$$.

Так как $$\sin^2 2\alpha + \cos^2 2\alpha = 1$$, $$\cos 2\alpha = \pm \sqrt{1 - \sin^2 2\alpha} = \pm \sqrt{1 - (-\frac{\sqrt{3}}{4})^2} = \pm \sqrt{1 - \frac{3}{16}} = \pm \sqrt{\frac{13}{16}} = \pm \frac{\sqrt{13}}{4}$$.

Диапазон $$\frac{15\pi}{4} < \alpha < \frac{13\pi}{4}$$ соответствует $$\frac{15\pi}{2} < 2\alpha < \frac{13\pi}{2}$$. Вычитая $$6\pi$$ из этого диапазона, получим $$\frac{3\pi}{2} < 2\alpha < \frac{\pi}{2}$$, что соответствует четвертой четверти, где косинус положителен.

Значит, $$\cos 2\alpha = \frac{\sqrt{13}}{4}$$ и $$-\cos 2\alpha = -\frac{\sqrt{13}}{4}$$.

Ответ: $$-\frac{\sqrt{13}}{4}$$