Найти скорость катера в стоячей воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч, путь в 40 км по течению и 6 км против течения катер затратил 3 часа.

Задание 10. Скорость катера

Условие: Найти скорость катера в стоячей воде. Скорость течения реки равна 2 км/ч. Путь в 40 км по течению и 6 км против течения катер затратил 3 часа.

Обозначения:

• Пусть \( v \) — скорость катера в стоячей воде (км/ч).
• Скорость течения реки \( u = 2 \) км/ч.
• Скорость катера по течению: \( v_{по} = v + u = v + 2 \) км/ч.
• Скорость катера против течения: \( v_{против} = v - u = v - 2 \) км/ч.
• Время движения по течению: \( t_{по} \) часов.
• Время движения против течения: \( t_{против} \) часов.
• Общее время движения: \( T = 3 \) часа.
• Расстояние по течению: \( S_{по} = 40 \) км.
• Расстояние против течения: \( S_{против} = 6 \) км.

Решение:

1. Вспомним формулу: время = расстояние / скорость.
2. Выразим время движения по течению:
   \( t_{по} = \frac{S_{по}}{v_{по}} = \frac{40}{v+2} \)
3. Выразим время движения против течения:
   \( t_{против} = \frac{S_{против}}{v_{против}} = \frac{6}{v-2} \)
4. Составим уравнение, так как общее время равно 3 часа:
   \( t_{по} + t_{против} = T \)
   \( \frac{40}{v+2} + \frac{6}{v-2} = 3 \)
5. ОДЗ: \( v+2 \neq 0 \) и \( v-2 \neq 0 \), то есть \( v \neq -2 \) и \( v \neq 2 \). Так как скорость катера не может быть отрицательной, \( v > 0 \). Следовательно, \( v > 2 \).
6. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель \( (v+2)(v-2) = v^2 - 4 \):
   \( 40(v-2) + 6(v+2) = 3(v^2 - 4) \)
7. Раскроем скобки:
   \( 40v - 80 + 6v + 12 = 3v^2 - 12 \)
8. Приведём подобные слагаемые:
   \( 46v - 68 = 3v^2 - 12 \)
9. Перенесём всё в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
   \( 3v^2 - 46v - 12 + 68 = 0 \)
   \( 3v^2 - 46v + 56 = 0 \)
10. Решим квадратное уравнение через дискриминант:
    \( D = b^2 - 4ac = (-46)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 56 \)
    \( D = 2116 - 672 = 1444 \)
    \( \sqrt{D} = \sqrt{1444} = 38 \)
11. Найдем корни:
    \( v_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{46 + 38}{2 \cdot 3} = \frac{84}{6} = 14 \)
    \( v_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{46 - 38}{2 \cdot 3} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \)
12. Проверим корни по ОДЗ (v > 2):
    \( v_1 = 14 \) удовлетворяет условию \( v > 2 \).
    \( v_2 = \frac{4}{3} \approx 1.33 \) не удовлетворяет условию \( v > 2 \), так как скорость против течения \( v-2 \) будет отрицательной.

Ответ: Скорость катера в стоячей воде равна 14 км/ч.