814 Найти производную функции: 2) √x + x² + 1 x-1

Решение

Чтобы найти производную функции \(y = \frac{\sqrt{x} + x^2 + 1}{x-1}\), используем правило частного: \[(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\]

В нашем случае: u = √x + x² + 1, v = x - 1

Найдем производные u и v:

u' = \frac{1}{2\sqrt{x}} + 2x v' = 1

Теперь подставим в формулу:

y' = \frac{(\frac{1}{2\sqrt{x}} + 2x)(x - 1) - (\sqrt{x} + x^2 + 1)(1)}{(x-1)²}

Упростим числитель:

y' = \frac{\frac{x}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{2\sqrt{x}} + 2x^2 - 2x - \sqrt{x} - x^2 - 1}{(x-1)²}

y' = \frac{\frac{\sqrt{x}}{2} - \frac{1}{2\sqrt{x}} + x^2 - 2x - \sqrt{x} - 1}{(x-1)²}

y' = \frac{-\frac{\sqrt{x}}{2} - \frac{1}{2\sqrt{x}} + x^2 - 2x - 1}{(x-1)²}

y' = \frac{-(\frac{\sqrt{x}}{2} + \frac{1}{2\sqrt{x}}) + x^2 - 2x - 1}{(x-1)²}

Ответ: \(\frac{-\frac{\sqrt{x}}{2} - \frac{1}{2\sqrt{x}} + x^2 - 2x - 1}{(x-1)²}\)

Ответ: \(\frac{-\frac{\sqrt{x}}{2} - \frac{1}{2\sqrt{x}} + x^2 - 2x - 1}{(x-1)²}\)