815 Найти f' (1), если: 1) f (x) = x2-1 x² + 1

Решение

Дано: \(f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}\). Нужно найти \(f'(1)\).

Шаг 1: Находим производную \(f'(x)\) используя правило деления:\[(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\]

Здесь \(u = x^2 - 1\) и \(v = x^2 + 1\). Тогда \(u' = 2x\) и \(v' = 2x\).

Подставляем в формулу: \[f'(x) = \frac{2x(x^2 + 1) - (x^2 - 1)2x}{(x^2 + 1)^2}\]

Шаг 2: Упрощаем выражение:\[f'(x) = \frac{2x^3 + 2x - 2x^3 + 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{4x}{(x^2 + 1)^2}\]

Шаг 3: Вычисляем \(f'(1)\): \[f'(1) = \frac{4 \cdot 1}{(1^2 + 1)^2} = \frac{4}{(1 + 1)^2} = \frac{4}{4} = 1\]

Ответ: 1

Ответ: 1