Найти общий вид первообразных для функции. 9. y = (cosx - sinx)²

Решение:

• Раскроем квадрат разности: \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \).
• \( y = \cos^2x - 2 − − − − − \sin x \cos x + \sin^2x \).
• Используем формулы: \( \cos^2x + \sin^2x = 1 \) и \( 2 − − − − − \sin x \cos x = \sin(2x) \).
• Тогда \( y = 1 - \sin(2x) \).
• Находим первообразную: \( \int (1 - \sin(2x)) dx = \int 1 dx - \int \sin(2x) dx \).
• \( \int 1 dx = x + C_1 \).
• \( \int \sin(2x) dx = -\frac{1}{2} \cos(2x) + C_2 \).
• Суммируем: \( x - (-\frac{1}{2} \cos(2x)) + C = x + \frac{1}{2} \cos(2x) + C \).

Ответ: С = x + 1/2 cos(2x) + C