4. Найти диагонали прямоугольника АВСД, если \(\angle САД = 30^{\circ}\), СД=4 см.

В прямоугольнике все углы прямые, следовательно, (angle ADC = 90^{circ}). Рассмотрим прямоугольный треугольник (ADC). (angle CAD = 30^{circ}), следовательно, (angle ACD = 90^{circ} - 30^{circ} = 60^{circ}).

Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Значит, (AD = rac{1}{2}AC). По теореме Пифагора:

(AC^2 = AD^2 + CD^2)

(AC^2 = (rac{1}{2}AC)^2 + 4^2)

(AC^2 = rac{1}{4}AC^2 + 16)

(rac{3}{4}AC^2 = 16)

(AC^2 = rac{64}{3})

(AC = sqrt{rac{64}{3}} = rac{8}{sqrt{3}} = rac{8sqrt{3}}{3})

Диагонали прямоугольника равны, следовательно, (AC = BD = rac{8sqrt{3}}{3}) см.

Ответ: (rac{8sqrt{3}}{3}) см.