Найдите значение выражения $$\frac{a^{12} \cdot (b^4)^3}{(a \cdot b)^{10}}$$ при $$a = 3$$ и $$b = \sqrt{2}$$.

Решение:

1. Упростим выражение: \( \frac{a^{12} \cdot b^{4 \cdot 3}}{(a \cdot b)^{10}} = \frac{a^{12} \cdot b^{12}}{a^{10} \cdot b^{10}} \)
2. Разделим степени с одинаковым основанием: \( a^{12-10} \cdot b^{12-10} = a^2 \cdot b^2 \)
3. Это можно записать как \( (a \cdot b)^2 \).
4. Подставим \( a=3 \) и \( b=\sqrt{2} \): \( (3 \cdot \sqrt{2})^2 \)
5. Возведем в квадрат: \( 3^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18 \).

Ответ: 18