Найдите значение выражения \(\frac{(a^9)^3 \cdot a^7}{a^{29}}\), при \(a = 2\).

Решение:

1. Упростим выражение, используя свойства степеней: \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \) и \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \).
2. \( \frac{(a^9)^3 \cdot a^7}{a^{29}} = \frac{a^{9 \cdot 3} \cdot a^7}{a^{29}} = \frac{a^{27} \cdot a^7}{a^{29}} \).
3. Сложим степени в числителе: \( \frac{a^{27+7}}{a^{29}} = \frac{a^{34}}{a^{29}} \).
4. Разделим степени с одинаковым основанием, используя правило \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \): \( a^{34-29} = a^5 \).
5. Теперь подставим значение \( a = 2 \) в упрощённое выражение: \( 2^5 \).
6. Вычислим результат: \( 2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32 \).

Ответ: 32