Найдите значение выражения √3 cos² 13π/12 - √3 sin² 13π/12.

Решение:

Вынесем общий множитель \( \sqrt{3} \) за скобки:

\[ \sqrt{3} \cos^2 \frac{13\pi}{12} - \sqrt{3} \sin^2 \frac{13\pi}{12} = \sqrt{3} \left( \cos^2 \frac{13\pi}{12} - \sin^2 \frac{13\pi}{12} \right) \]

Используем формулу косинуса двойного угла: \( \cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha \).

В нашем случае \( \alpha = \frac{13\pi}{12} \), поэтому \( 2\alpha = 2 \cdot \frac{13\pi}{12} = \frac{13\pi}{6} \).

\[ \sqrt{3} \left( \cos^2 \frac{13\pi}{12} - \sin^2 \frac{13\pi}{12} \right) = \sqrt{3} \cos \left( \frac{13\pi}{6} \right) \]

Найдем значение \( \cos \left( \frac{13\pi}{6} \right) \). Угол \( \frac{13\pi}{6} \) можно представить как \( \frac{12\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = 2\pi + \frac{\pi}{6} \).

Поскольку косинус является периодической функцией с периодом \( 2\pi \), то \( \cos \left( 2\pi + \frac{\pi}{6} \right) = \cos \left( \frac{\pi}{6} \right) \).

Значение \( \cos \left( \frac{\pi}{6} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \).

Подставим это значение обратно:

\[ \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2} \]

Ответ: 1.5