Найдите tga, если 3 sin a +5 cosa +1 / 2 sin a + cos a +4 = 1/4.

Решение:

Дано уравнение:

\[ \frac{3 \sin \alpha + 5 \cos \alpha + 1}{2 \sin \alpha + \cos \alpha + 4} = \frac{1}{4} \]

Умножим обе части на \( 4(2 \sin \alpha + \cos \alpha + 4) \), предполагая, что знаменатель не равен нулю:

\[ 4(3 \sin \alpha + 5 \cos \alpha + 1) = 1(2 \sin \alpha + \cos \alpha + 4) \]

Раскроем скобки:

\[ 12 \sin \alpha + 20 \cos \alpha + 4 = 2 \sin \alpha + \cos \alpha + 4 \]

Перенесём все члены в левую часть:

\[ 12 \sin \alpha - 2 \sin \alpha + 20 \cos \alpha - \cos \alpha + 4 - 4 = 0 \]

Приведём подобные слагаемые:

\[ 10 \sin \alpha + 19 \cos \alpha = 0 \]

Разделим обе части на \( \cos \alpha \) (предполагая \( \cos \alpha \neq 0 \), так как если \( \cos \alpha = 0 \), то \( \sin \alpha = 0 \), что невозможно):

\[ 10 \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + 19 = 0 \]

Используя определение тангенса \( \text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \):

\[ 10 \text{tg} \alpha + 19 = 0 \]

Выразим \( \text{tg} \alpha \):

\[ 10 \text{tg} \alpha = -19 \]

\( \text{tg} \alpha = -\frac{19}{10} \)

Ответ: -1.9