Найдите значение выражения 20√3cos (-π/3) sin (-π/3).

Решение:

Дано выражение: \( 20\sqrt{3}\cos \left( -\frac{\pi}{3} \right) \sin \left( -\frac{\pi}{3} \right) \).

Воспользуемся свойствами тригонометрических функций: \( \cos(-\alpha) = \cos(\alpha) \) и \( \sin(-\alpha) = -\sin(\alpha) \).

Подставим эти свойства в выражение:

\[ 20\sqrt{3} \cos \left( \frac{\pi}{3} \right) \left( -\sin \left( \frac{\pi}{3} \right) \right) \]

\( = -20\sqrt{3} \cos \left( \frac{\pi}{3} \right) \sin \left( \frac{\pi}{3} \right) \).

Теперь используем формулу синуса двойного угла: \( \sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha \).

В нашем случае \( \alpha = \frac{\pi}{3} \). Нам нужно \( \cos \left( \frac{\pi}{3} \right) \sin \left( \frac{\pi}{3} \right) \), что равно \( \frac{1}{2} \sin \left( 2 \cdot \frac{\pi}{3} \right) = \frac{1}{2} \sin \left( \frac{2\pi}{3} \right) \).

Значение \( \sin \left( \frac{2\pi}{3} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \).

Тогда \( \cos \left( \frac{\pi}{3} \right) \sin \left( \frac{\pi}{3} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} \).

Подставим это обратно в исходное выражение:

\[ -20\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \]

\( = -\frac{20 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{4} = -\frac{20 \cdot 3}{4} = -\frac{60}{4} = -15 \).

Ответ: -15