8. Найдите значение выражения \(\left(\frac{a+\frac{1}{a}+2}{\frac{1}{a}}\right) \cdot \frac{1}{a+1}\) при \(a = -5\).

Ответ: \(-\frac{4}{5}\)

1. Подставим \(a = -5\) в выражение: \[\left(\frac{-5 + \frac{1}{-5} + 2}{\frac{1}{-5}}\right) \cdot \frac{1}{-5 + 1}\]
2. Упростим выражение в скобках: \[\frac{-5 - \frac{1}{5} + 2}{-\frac{1}{5}} = \frac{-3 - \frac{1}{5}}{-\frac{1}{5}} = \frac{-\frac{16}{5}}{-\frac{1}{5}}\]
3. Разделим дроби: \[\frac{-\frac{16}{5}}{-\frac{1}{5}} = \frac{16}{5} \cdot \frac{5}{1} = 16\]
4. Теперь упростим вторую часть выражения: \[\frac{1}{-5 + 1} = \frac{1}{-4} = -\frac{1}{4}\]
5. Умножим результаты: \[16 \cdot \left(-\frac{1}{4}\right) = -4\]

Ответ: -4