12. Найдите значение выражения \(\frac{x^3y - xy^3}{2(y-x)} \cdot \frac{3(x-y)}{x^2 - y^2}\) при \(x = 4\) и \(y = \frac{1}{4}\).

Шаг 1: Упростим выражение: \[\frac{x^3y - xy^3}{2(y-x)} \cdot \frac{3(x-y)}{x^2 - y^2} = \frac{xy(x^2 - y^2)}{2(y-x)} \cdot \frac{3(x-y)}{(x-y)(x+y)} = \frac{xy(x-y)(x+y)}{2(y-x)} \cdot \frac{3}{(x-y)(x+y)}\]

Шаг 2: Сократим \((x-y)\) и \((x+y)\), а также учтем, что \((y-x) = -(x-y)\): \[\frac{xy(x-y)(x+y)}{2(y-x)} \cdot \frac{3}{(x-y)(x+y)} = \frac{xy \cdot 3}{2(-1)} = -\frac{3xy}{2}\]

Шаг 3: Подставим значения \(x = 4\) и \(y = \frac{1}{4}\): \[-\frac{3 \cdot 4 \cdot \frac{1}{4}}{2} = -\frac{3}{2} \cdot \frac{4 \cdot \frac{1}{4}}{1} = -\frac{3}{2} \cdot 1 = -\frac{3}{2}\]

Шаг 4: Вычислим значение выражения: \[-\frac{3 \cdot 4 \cdot \frac{1}{4}}{2} = -\frac{3}{2} \cdot 1 = -\frac{3}{2} = -1.5 \cdot 1 = -1.5 \cdot 1 = -\frac{12 \cdot \frac{1}{4}}{2} = -\frac{3}{2} = -\frac{12}{8} = -\frac{6}{4} = -\frac{17}{4}\]