19. Если двузначное число разделить на число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, то получится 4, а в остатке 3. Если же это число разделить на сумму его цифр, то в частном получится 8, а в остатке 7. Найдите это число.

Шаг 1: Запишем условия задачи в виде уравнений. Пусть искомое число равно \(10a + b\), где \(a\) и \(b\) - его цифры. Тогда:\[\frac{10a + b}{10b + a} = 4 + \frac{3}{10b + a}\]\[\frac{10a + b}{a + b} = 8 + \frac{7}{a + b}\]

Шаг 2: Преобразуем уравнения:\[10a + b = 4(10b + a) + 3\]\[10a + b = 8(a + b) + 7\]

Шаг 3: Упростим уравнения:\[10a + b = 40b + 4a + 3 \Rightarrow 6a - 39b = 3\]\[10a + b = 8a + 8b + 7 \Rightarrow 2a - 7b = 7\]

Шаг 4: Решим систему уравнений:\[\begin{cases}6a - 39b = 3 \\ 2a - 7b = 7\end{cases}\]Умножим второе уравнение на 3:\[\begin{cases}6a - 39b = 3 \\ 6a - 21b = 21\end{cases}\]Вычтем из второго уравнения первое:\[18b = 18 \Rightarrow b = 1\]

Шаг 5: Подставим значение \(b\) в одно из уравнений (например, во второе):\[2a - 7(1) = 7 \Rightarrow 2a = 14 \Rightarrow a = 7\]

Шаг 6: Найдем искомое число:\[10a + b = 10(7) + 1 = 71\]