2. Найдите значение выражения \(\frac{x^{22} \cdot (y^4)^5}{(xy)^{20}}\) при \(x = \sqrt{34}\); \(y = \sqrt{24}\).

Ответ: \(\frac{34}{24^2}\)

1. Упростим выражение:
\[\frac{x^{22} \cdot (y^4)^5}{(xy)^{20}} = \frac{x^{22} \cdot y^{4 \cdot 5}}{x^{20} \cdot y^{20}} = \frac{x^{22} \cdot y^{20}}{x^{20} \cdot y^{20}}\]
2. Сократим \(y^{20}\):
\[\frac{x^{22} \cdot y^{20}}{x^{20} \cdot y^{20}} = \frac{x^{22}}{x^{20}}\]
3. Разделим степени с одинаковым основанием:
\[\frac{x^{22}}{x^{20}} = x^{22-20} = x^2\]
4. Теперь подставим значение \(x = \sqrt{34}\):
\[(\sqrt{34})^2 = 34\]
5. Упростим выражение с y:
\[\frac{1}{y^{20}} = (\frac{1}{y})^{20}\]
6. Подставим значение \(y = \sqrt{24}\):
\[\frac{34}{(\sqrt{24})^{20}} = \frac{34}{24^{10}}\]
7. Подставим значение \(y = \sqrt{24}\) в \(\frac{y^{20}}{y^{20}}\) :
\[\frac{(\sqrt{24})^{20}}{(\sqrt{24})^{20}} = \frac{24^{10}}{24^{10}} = 1\]
8. \(\frac{1}{y^{20}} = (\frac{1}{y})^{20}\) Подставим значение \(y = \sqrt{24}\) \[(\frac{1}{\sqrt{24}})^{20} = \frac{1}{24^{10}}\]
9. Упростим выражение:
\[\frac{x^{22} \cdot (y^4)^5}{(xy)^{20}} = \frac{x^{22} \cdot y^{20}}{x^{20}y^{20}} = x^2 \cdot \frac{1}{y^{20}} = 34 \cdot \frac{1}{24^{10}} = \frac{34}{24^{10}}\]
10. Теперь представим ввиде деления \((\frac{x}{y})^{20}\)
\[(\frac{x}{y})^{20} = (\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{24}})^{20} = (\sqrt{\frac{34}{24}})^{20} = (\frac{34}{24})^{10}\]
11. После сокращения выражения, получаем:
\[\frac{x^2}{y^{20}} = \frac{34}{24^{10}}\]
12. Представим дробь в более простом виде:
\[\frac{34}{24^{10}} = \frac{34}{(24^2)^5} = \frac{34}{576^5}\]

Ответ: \(\frac{34}{24^{10}}\)