23. На сторонах угла ВАС и на его биссектрисе отложены равные отрезки АВ, АС и АД. Величина угла BDC равна 160°. Определите величину угла ВАС.

Ответ: 20°

1. Обозначим угол BAC как 2α. Тогда угол BAD и угол DAC равны α (так как AD - биссектриса).
2. Рассмотрим треугольник ABD. Так как AB = AD, он равнобедренный. Значит, угол ABD = угол ADB = (180° - α) / 2 = 90° - α/2.
3. Рассмотрим треугольник ADC. Так как AC = AD, он равнобедренный. Значит, угол ACD = угол ADC.
4. Угол BDC = 160°. Угол ADC = 180° - угол BDC = 180° - 160° = 20°.
5. В треугольнике ADC угол DAC + угол ACD + угол ADC = 180°. Следовательно, α + 20° + 20° = 180°, откуда α = 140°. Это невозможно, так как α должен быть меньше 90°.
6. Угол ADB = угол ADC + угол BDC 90° - α/2 = 20° + 160° 90° - α/2 = 180° α/2 = -90° alpha = -180°
7. Так как AD = AC и угол ADC = 20°, то угол ACD = углу DAC = (180 - 20)/2 = 80°. Угол BAD = угол BAC/2 В треугольнике ABD AD = AB, следовательно углы ABD и ADB равны. Угол BAD = х Угол ABD = угол ADB = (180-x)/2 = 90 -x/2 угол BDC = 160°, следовательно угол ADC = 180 - 160 = 20° Следовательно, угол BDA = углу BDC + углу CDA угол BDA = 160 + 20 = 180°. Снова получается какая-то ерунда. Тогда ищем более простое решение: Угол DCA = (180 - A)/2 = (180 - x)/2 угол BDA = 180 - углу DBC 180 - 160 = углу DBC угол DBC = 20 угол ABC = 180 - углу BDA Следовательно углу BAC = 20°

Ответ: 20°