253. Найдите уравнение окружности, являющейся образом окружности (х + 3)² + (у – 4)² = 11 при параллельном переносе на вектор 6(-4; 1).

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Определим центр исходной окружности и её радиус:

Уравнение окружности имеет вид: \[ (x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2 \], где (a; b) — центр окружности, R — радиус.

Исходное уравнение: \[ (x + 3)^2 + (y - 4)^2 = 11 \]

Значит, центр исходной окружности: \[ O(-3; 4) \], радиус \[ R = \sqrt{11} \]

• Шаг 2: Найдем центр новой окружности после параллельного переноса на вектор \(\vec{b}(-4; 1)\):

Чтобы найти новый центр O₁, нужно прибавить вектор \(\vec{b}\) к координатам исходного центра O: \[ O_1 = O + \vec{b} = (-3; 4) + (-4; 1) = (-7; 5) \]

• Шаг 3: Запишем уравнение новой окружности с центром O₁(-7; 5) и радиусом \(\sqrt{11}\):

Новое уравнение: \[ (x - (-7))^2 + (y - 5)^2 = (\sqrt{11})^2 \]

Упрощаем: \[ (x + 7)^2 + (y - 5)^2 = 11 \]

Ответ: Уравнение окружности, являющейся образом исходной, имеет вид: (x + 7)² + (y – 5)² = 11