Найдите ту пару значений переменных, при которых многочлен p(x; y) = 12x + 4y + 84 – x² – 8xy + y² принимает наибольшее значение, если известно, что 3х – y – 4 = 0. Чему равно это наибольшее значение?

Выразим $$y$$ через $$x$$: $$y = 3x - 4$$. Подставим это выражение в многочлен: $$p(x) = 12x + 4(3x - 4) + 84 - x^2 - 8x(3x - 4) + (3x - 4)^2$$ $$p(x) = 12x + 12x - 16 + 84 - x^2 - 24x^2 + 32x + 9x^2 - 24x + 16$$ $$p(x) = -16x^2 + 32x + 84$$ Найдем наибольшее значение этого выражения. Это парабола, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{32}{2 \cdot (-16)} = 1$$. Тогда $$y = 3x - 4 = 3 \cdot 1 - 4 = -1$$. Теперь найдем наибольшее значение многочлена: $$p(1) = -16(1)^2 + 32(1) + 84 = -16 + 32 + 84 = 100$$.

Ответ: 100