Найдите ту пару значений переменных, при которых многочлен p(x; y) = 3x²– 6xy + y² + 5x + 96y – 68 принимает наименьшее значение, если известно, что х + 2y = 7. Чему равно это наименьшее значение?

Найдем пару значений переменных, при которых многочлен $$p(x; y) = 3x^2 - 6xy + y^2 + 5x + 96y - 68$$ принимает наименьшее значение, если известно, что $$x + 2y = 7$$. Выразим $$x$$ через $$y$$: $$x = 7 - 2y$$. Подставим это выражение в многочлен: $$p(y) = 3(7 - 2y)^2 - 6(7 - 2y)y + y^2 + 5(7 - 2y) + 96y - 68$$ $$p(y) = 3(49 - 28y + 4y^2) - 42y + 12y^2 + y^2 + 35 - 10y + 96y - 68$$ $$p(y) = 147 - 84y + 12y^2 - 42y + 12y^2 + y^2 + 35 - 10y + 96y - 68$$ $$p(y) = 25y^2 - 40y + 114$$ Найдем наименьшее значение этого выражения. Это парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $$y_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-40}{2 \cdot 25} = \frac{40}{50} = \frac{4}{5}$$. Тогда $$x = 7 - 2y = 7 - 2 \cdot \frac{4}{5} = 7 - \frac{8}{5} = \frac{35 - 8}{5} = \frac{27}{5}$$. Теперь найдем наименьшее значение многочлена: $$p(\frac{4}{5}) = 25(\frac{4}{5})^2 - 40(\frac{4}{5}) + 114 = 25(\frac{16}{25}) - 32 + 114 = 16 - 32 + 114 = 98$$.

Ответ: 98