Найдите наименьшее значение многочлена р(х): a) p(x)=x² – 10x + 5; в) p(x) = x² – 5x + 8; б) p(x) = 2x² – 6x + 3; г) p(x) = 3x²+x.

Question

Вопрос:

Ответ:

Accepted Answer

a) $$p(x) = x^2 - 10x + 5 = (x^2 - 10x + 25) - 25 + 5 = (x - 5)^2 - 20$$. Наименьшее значение многочлена достигается при $$x = 5$$ и равно -20.
в) $$p(x) = x^2 - 5x + 8 = (x^2 - 5x + \frac{25}{4}) - \frac{25}{4} + 8 = (x - \frac{5}{2})^2 + \frac{7}{4}$$. Наименьшее значение многочлена достигается при $$x = \frac{5}{2}$$ и равно $$\frac{7}{4}$$.
б) $$p(x) = 2x^2 - 6x + 3 = 2(x^2 - 3x + \frac{9}{4}) - 2 \cdot \frac{9}{4} + 3 = 2(x - \frac{3}{2})^2 - \frac{3}{2}$$. Наименьшее значение многочлена достигается при $$x = \frac{3}{2}$$ и равно $$\frac{-3}{2}$$.
г) $$p(x) = 3x^2 + x = 3(x^2 + \frac{1}{3}x) = 3(x^2 + \frac{1}{3}x + \frac{1}{36}) - 3 \cdot \frac{1}{36} = 3(x + \frac{1}{6})^2 - \frac{1}{12}$$. Наименьшее значение многочлена достигается при $$x = \frac{-1}{6}$$ и равно $$\frac{-1}{12}$$.

Ответ: a) -20; в) 7/4; б) -3/2; г) -1/12