Найдите точку максимума функции $$y = (x + 16) e^{16-x}$$.

Для нахождения точки максимума функции нужно найти первую производную функции, приравнять ее к нулю и решить уравнение.

$$y = (x + 16)e^{16-x}$$

$$y' = (x+16)'e^{16-x} + (x+16)(e^{16-x})'$$

$$y' = e^{16-x} + (x+16)e^{16-x}(-1)$$

$$y' = e^{16-x} - (x+16)e^{16-x}$$

$$y' = e^{16-x}(1 - x - 16)$$

$$y' = e^{16-x}(-x - 15)$$

Чтобы найти точки экстремума, приравняем производную к нулю: $$e^{16-x}(-x - 15) = 0$$

Так как $$e^{16-x}$$ всегда больше нуля, то

$$-x - 15 = 0$$

$$x = -15$$

Теперь проверим, является ли эта точка точкой максимума. Для этого найдем вторую производную:

$$y'' = (e^{16-x}(-x - 15))'$$

$$y'' = (e^{16-x})'(-x-15) + e^{16-x}(-x-15)'$$

$$y'' = -e^{16-x}(-x-15) + e^{16-x}(-1)$$

$$y'' = e^{16-x}(x+15) - e^{16-x}$$

$$y'' = e^{16-x}(x+14)$$

Подставим значение x = -15:

$$y''(-15) = e^{16-(-15)}(-15+14) = e^{31}(-1) = -e^{31} < 0$$

Поскольку вторая производная в точке x = -15 меньше нуля, это точка максимума.

Ответ: -15