3. Найдите сумму, разность и произведение многочленов: \[\frac{3}{4}a^2 + \frac{2}{3}b^3; \frac{1}{20}a^2 - \frac{4}{9}b^3.\]

Ответ: Сумма: (16/20)a² + (2/9)b³; Разность: (14/20)a² + (10/9)b³; Произведение: (3/80)a⁴ - (1/3)a²b³ + (1/30)a²b³ - (8/27)b⁶ = (3/80)a⁴ - (7/30)a²b³ - (8/27)b⁶

Решение:

1. Сумма многочленов:

• Складываем многочлены: (\frac{3}{4}a^2 + \frac{2}{3}b^3) + (\frac{1}{20}a^2 - \frac{4}{9}b^3)
• Приводим подобные члены: (\frac{3}{4} + \frac{1}{20})a^2 + (\frac{2}{3} - \frac{4}{9})b^3
• Вычисляем: (\frac{15}{20} + \frac{1}{20})a^2 + (\frac{6}{9} - \frac{4}{9})b^3 = \frac{16}{20}a^2 + \frac{2}{9}b^3
• Упрощаем: \frac{4}{5}a^2 + \frac{2}{9}b^3

2. Разность многочленов:

• Вычитаем многочлены: (\frac{3}{4}a^2 + \frac{2}{3}b^3) - (\frac{1}{20}a^2 - \frac{4}{9}b^3)
• Приводим подобные члены: (\frac{3}{4} - \frac{1}{20})a^2 + (\frac{2}{3} + \frac{4}{9})b^3
• Вычисляем: (\frac{15}{20} - \frac{1}{20})a^2 + (\frac{6}{9} + \frac{4}{9})b^3 = \frac{14}{20}a^2 + \frac{10}{9}b^3
• Упрощаем: \frac{7}{10}a^2 + \frac{10}{9}b^3

3. Произведение многочленов:

• Умножаем многочлены: (\frac{3}{4}a^2 + \frac{2}{3}b^3) \cdot (\frac{1}{20}a^2 - \frac{4}{9}b^3)
• Раскрываем скобки: (\frac{3}{4}a^2) \cdot (\frac{1}{20}a^2) + (\frac{3}{4}a^2) \cdot (-\frac{4}{9}b^3) + (\frac{2}{3}b^3) \cdot (\frac{1}{20}a^2) + (\frac{2}{3}b^3) \cdot (-\frac{4}{9}b^3)
• Вычисляем: \frac{3}{80}a^4 - \frac{1}{3}a^2b^3 + \frac{1}{30}a^2b^3 - \frac{8}{27}b^6
• Приводим подобные члены: \frac{3}{80}a^4 - (\frac{1}{3} - \frac{1}{30})a^2b^3 - \frac{8}{27}b^6
• Упрощаем: \frac{3}{80}a^4 - (\frac{10}{30} - \frac{1}{30})a^2b^3 - \frac{8}{27}b^6 = \frac{3}{80}a^4 - \frac{9}{30}a^2b^3 - \frac{8}{27}b^6 = \frac{3}{80}a^4 - \frac{3}{10}a^2b^3 - \frac{8}{27}b^6

Ответ: Сумма: (16/20)a² + (2/9)b³; Разность: (14/20)a² + (10/9)b³; Произведение: (3/80)a⁴ - (1/3)a²b³ + (1/30)a²b³ - (8/27)b⁶ = (3/80)a⁴ - (7/30)a²b³ - (8/27)b⁶