Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии (b_n), в которой \( b_1 = 48, b_2 = 12, b_3 = 3 \).

Решение:

1. Найдем знаменатель геометрической прогрессии \( q \), разделив второй член на первый:
2. \( q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{12}{48} = \frac{1}{4} \)
3. Проверим, получается ли тот же знаменатель, разделив третий член на второй:
4. \( q = \frac{b_3}{b_2} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} \)
5. Знаменатель прогрессии \( q = \frac{1}{4} \). Так как \( |q| < 1 \), прогрессия является бесконечно убывающей.
6. Воспользуемся формулой суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: \( S = \frac{b_1}{1-q} \)
7. Подставим значения \( b_1 = 48 \) и \( q = \frac{1}{4} \) в формулу:
8. \( S = \frac{48}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{48}{\frac{3}{4}} = 48 \cdot \frac{4}{3} \)
9. Вычислим сумму:
10. \( S = \frac{48 \cdot 4}{3} = 16 \cdot 4 = 64 \)

Ответ: 64.