10. Найдите, при каких значениях числа \(a\) система уравнений \[\begin{cases}x^2 + y^2 = 4,\\x + y = a\end{cases}\] имеет два решения.

Question

Вопрос:

Ответ:

Accepted Answer

Ответ: \(a = \pm 2\sqrt{2}\)

Краткое пояснение: Система имеет два решения, когда прямая касается окружности.

Решим систему уравнений:

Из второго уравнения выразим \(y = a - x\) и подставим в первое:
\(x^2 + (a - x)^2 = 4\)
\(x^2 + a^2 - 2ax + x^2 = 4\)
\(2x^2 - 2ax + a^2 - 4 = 0\)
Чтобы система имела два решения, дискриминант должен быть равен нулю:
\(D = (-2a)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (a^2 - 4) = 4a^2 - 8a^2 + 32 = -4a^2 + 32\)
\(-4a^2 + 32 = 0\)
\(4a^2 = 32\)
\(a^2 = 8\)
\(a = \pm \sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2}\)

Ответ: \(a = \pm 2\sqrt{2}\)

Математический джедай!

Минус 15 минут нудной домашки. Потрать их на катку или новый рилс

Не будь NPC — кинь ссылку бро, который всё еще тупит над этой задачей