37. Найдите площадь трапеции, у которой параллельные сто- роны 60 см и 20 см, а непараллельные — 13 см и 37 см.

Для решения задачи найдем высоту трапеции, а затем вычислим ее площадь.

Пусть $$a = 60$$ см и $$b = 20$$ см - основания трапеции, а $$c = 13$$ см и $$d = 37$$ см - ее боковые стороны.

Площадь трапеции вычисляется по формуле: $$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$$, где $$h$$ - высота трапеции.

Проведем две высоты из вершин меньшего основания к большему. Пусть $$x$$ - проекция боковой стороны $$c$$ на основание $$a$$, а $$y$$ - проекция боковой стороны $$d$$ на основание $$a$$. Тогда $$x + y = a - b = 60 - 20 = 40$$ см.

Высоту можно найти из двух прямоугольных треугольников, образованных боковыми сторонами и высотами. По теореме Пифагора: $$h^2 = c^2 - x^2 = d^2 - y^2$$.

Подставим значения: $$13^2 - x^2 = 37^2 - (40-x)^2 \Rightarrow 169 - x^2 = 1369 - (1600 - 80x + x^2) \Rightarrow 169 - x^2 = 1369 - 1600 + 80x - x^2 \Rightarrow 169 = -231 + 80x \Rightarrow 80x = 400 \Rightarrow x = 5$$.

Теперь найдем высоту: $$h = \sqrt{c^2 - x^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$$ см.

Площадь трапеции: $$S = \frac{60+20}{2} \cdot 12 = \frac{80}{2} \cdot 12 = 40 \cdot 12 = 480$$ см$$^2$$.

Ответ: 480 см²