32. Боковые стороны треугольника 30 см и 25 см. Найдите высоту треугольника, опущенную на основание, равное: 1) 25 см; 2) 11 см.

Для решения задачи необходимо воспользоваться формулой площади треугольника, выраженной через основание и высоту: $$S = \frac{1}{2} a h$$, где $$a$$ - основание треугольника, $$h$$ - высота, опущенная на это основание.

Сначала найдем площадь треугольника, используя формулу Герона: $$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$, где $$p$$ - полупериметр, $$a, b, c$$ - стороны треугольника.

Полупериметр $$p = \frac{30 + 25 + a}{2}$$, где $$a$$ - основание треугольника.

1) Если основание равно 25 см:

1. Найдем полупериметр: $$p = \frac{30 + 25 + 25}{2} = \frac{80}{2} = 40 \text{ см}$$.
2. Найдем площадь треугольника по формуле Герона: $$S = \sqrt{40(40-30)(40-25)(40-25)} = \sqrt{40 \cdot 10 \cdot 15 \cdot 15} = \sqrt{400 \cdot 225} = 20 \cdot 15 = 300 \text{ см}^2$$.
3. Теперь найдем высоту, опущенную на основание 25 см, используя формулу площади: $$h = \frac{2S}{a} = \frac{2 \cdot 300}{25} = \frac{600}{25} = 24 \text{ см}$$.

2) Если основание равно 11 см:

1. Найдем полупериметр: $$p = \frac{30 + 25 + 11}{2} = \frac{66}{2} = 33 \text{ см}$$.
2. Найдем площадь треугольника по формуле Герона: $$S = \sqrt{33(33-30)(33-25)(33-11)} = \sqrt{33 \cdot 3 \cdot 8 \cdot 22} = \sqrt{3 \cdot 11 \cdot 3 \cdot 8 \cdot 2 \cdot 11} = \sqrt{9 \cdot 121 \cdot 16} = 3 \cdot 11 \cdot 4 = 132 \text{ см}^2$$.
3. Теперь найдем высоту, опущенную на основание 11 см, используя формулу площади: $$h = \frac{2S}{a} = \frac{2 \cdot 132}{11} = \frac{264}{11} = 24 \text{ см}$$.

Ответ: 1) 24 см; 2) 24 см