227. Найдите первый член и знаменатель геометрической прогрессии (6), если: 1) b = 464 и в₂ + b = 108; 2) b₃ + b = 420 и 64-b₃ + b = 315.

Ответ: 1) b₁ = 4 или b₁ = 64; q = 4 или q = 1/4; 2) b₁ = 60 или b₁ = 5, q = 2 или q = -2

1) Дано: b₆ = 4b₄, b₂ + b₅ = 108. Найти: b₁ и q. Решение: b₆ = b₁ * q⁵ b₄ = b₁ * q³ b₂ = b₁ * q b₅ = b₁ * q⁴ Система уравнений: b₁ * q⁵ = 4 * b₁ * q³ b₁ * q + b₁ * q⁴ = 108 q² = 4 q = \(\pm\)2 Если q = 2: b₁ * 2 + b₁ * 16 = 108 18b₁ = 108 b₁ = 6 Если q = -2: b₁ * (-2) + b₁ * 16 = 108 14b₁ = 108 b₁ = 54/7 2) Дано: b₃ + b₆ = 420, b₄ - b₅ + b₆ = 315. Найти: b₁ и q. Решение: b₃ = b₁ * q² b₄ = b₁ * q³ b₅ = b₁ * q⁴ b₆ = b₁ * q⁵ Система уравнений: b₁ * q² + b₁ * q⁵ = 420 b₁ * q³ - b₁ * q⁴ + b₁ * q⁵ = 315 Выразим b₁ из первого уравнения: b₁ = 420 / (q² + q⁵) Подставим во второе уравнение: (420 / (q² + q⁵)) * q³ - (420 / (q² + q⁵)) * q⁴ + (420 / (q² + q⁵)) * q⁵ = 315 420q³ - 420q⁴ + 420q⁵ = 315q² + 315q⁵ 105q⁵ - 420q⁴ + 420q³ - 315q² = 0 q²(105q³ - 420q² + 420q - 315) = 0 Делим на 105: q²(q³ - 4q² + 4q - 3) = 0 q³ - 4q² + 4q - 3 = 0 (q - 3)(q² - q + 1) = 0 q = 3 b₁ = 420 / (3² + 3⁵) = 420 / (9 + 243) = 420 / 252 = 5/3

Ответ: 1) b₁ = 6, q = 2; 2) b₁ = 5/3, q = 3