3. Найдите объем Ѵ конуса, образующая которого равна 47 и наклонена к плоскости Ѵ основания под углом 30 °. В ответе укажите п.

Пусть образующая конуса равна L, угол наклона образующей к плоскости основания равен α. Дано: L = 47, α = 30°. Высота конуса h и радиус основания R связаны с образующей L следующим образом: $$h = L \sin α$$ $$R = L \cos α$$ Объём конуса равен $$V = \frac{1}{3} \pi R^2 h = \frac{1}{3} \pi (L \cos α)^2 (L \sin α) = \frac{1}{3} \pi L^3 \cos^2 α \sin α$$ $$V = \frac{1}{3} \pi (47)^3 (\cos 30°)^2 (\sin 30°) = \frac{1}{3} \pi (47)^3 (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 (\frac{1}{2}) = \frac{1}{3} \pi (47)^3 (\frac{3}{4}) (\frac{1}{2}) = \frac{1}{3} \pi (47)^3 \frac{3}{8} = \pi \frac{(47)^3}{8}$$ $$V = \pi \frac{103823}{8}$$ В ответе нужно указать $$\frac{V}{\pi}$$: $$\frac{V}{\pi} = \frac{103823}{8} = 12977,875$$

Ответ: 12977,875