Найдите наименьшее значение функции $$y = 3 + \frac{5\pi}{4} - 5x - 5\sqrt{2} \cos x$$ на отрезке $$\left[0; \frac{\pi}{2}\right]$$.

Найдем производную функции:

$$y' = -5 + 5\sqrt{2} \sin x$$

Приравняем производную к нулю:

$$-5 + 5\sqrt{2} \sin x = 0$$

$$\sin x = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

$$x = \frac{\pi}{4}$$

Найдем значения функции на концах отрезка и в точке $$\frac{\pi}{4}$$:

$$y(0) = 3 + \frac{5\pi}{4} - 5 \cdot 0 - 5\sqrt{2} \cos 0 = 3 + \frac{5\pi}{4} - 5\sqrt{2} \approx 3 + \frac{5 \cdot 3.14}{4} - 5 \cdot 1.41 = 3 + 3.925 - 7.05 = -0.125$$

$$y(\frac{\pi}{2}) = 3 + \frac{5\pi}{4} - 5 \cdot \frac{\pi}{2} - 5\sqrt{2} \cos \frac{\pi}{2} = 3 + \frac{5\pi}{4} - \frac{5\pi}{2} - 5\sqrt{2} \cdot 0 = 3 + \frac{5\pi}{4} - \frac{10\pi}{4} = 3 - \frac{5\pi}{4} \approx 3 - \frac{5 \cdot 3.14}{4} = 3 - 3.925 = -0.925$$

$$y(\frac{\pi}{4}) = 3 + \frac{5\pi}{4} - 5 \cdot \frac{\pi}{4} - 5\sqrt{2} \cos \frac{\pi}{4} = 3 + \frac{5\pi}{4} - \frac{5\pi}{4} - 5\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3 - \frac{5 \cdot 2}{2} = 3 - 5 = -2$$

Наименьшее значение функции равно -2.

Ответ: -2