10 10 Найдите наибольшее целое решение неравенства f/(x) g/(x) ≤ 0, где f(x)=8x-x 2 g(x)= 12x-x³.

Решим неравенство $$\frac{f'(x)}{g'(x)} \le 0$$, где $$f(x) = 8x - x^2$$ и $$g(x) = 12x - x^3$$.

1. Найдем производные функций $$f(x)$$ и $$g(x)$$.

$$f'(x) = 8 - 2x$$

$$g'(x) = 12 - 3x^2$$

2. Подставим производные в неравенство.

$$\frac{8 - 2x}{12 - 3x^2} \le 0$$

3. Упростим дробь, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$\frac{4 - x}{6 - \frac{3}{2}x^2} \le 0$$

$$ \frac{2(4 - x)}{3(4 - x^2)} \le 0$$

$$ \frac{2(4 - x)}{3(2 - x)(2 + x)} \le 0$$

4. Разложим числитель и знаменатель на множители.

5. Найдем нули числителя и знаменателя.

$$4 - x = 0 => x = 4$$

$$2 - x = 0 => x = 2$$

$$2 + x = 0 => x = -2$$

6. Нанесем полученные точки на числовую прямую и определим знаки на промежутках.

        +               -               +               -
<----------------*---------------*---------------*--------------->
       -2               2               4

7. Решением неравенства являются промежутки, где выражение меньше или равно нулю.

$$x \in (- \infty; -2) \cup [2; 4]$$

8. Найдем наибольшее целое решение неравенства.

Наибольшее целое число, принадлежащее полученному решению, - это 4.

Ответ: 4.