2. На стороне $$CD$$ квадрата $$ABCD$$ лежит точка $$P$$ так, что $$CP = PD$$, $$O$$ — точка пересечения диагоналей. Выразите векторы $$\vec{BO}$$, $$\vec{BP}$$, $$\vec{BD}$$ через векторы $$\vec{x} = \vec{BA}$$ и $$\vec{y} = \vec{BC}$$.

Так как $$ABCD$$ - квадрат, $$\vec{BA} = \vec{x}$$, $$\vec{BC} = \vec{y}$$, и $$CP=PD$$, то $$P$$ - середина $$CD$$. * $$\vec{BO} = \vec{BA} + \vec{AO} = \vec{BA} + \frac{1}{2}\vec{AC}$$. Так как $$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} = -\vec{x} + \vec{y}$$, то $$\vec{BO} = \vec{x} + \frac{1}{2}(-\vec{x} + \vec{y}) = \frac{1}{2}\vec{x} + \frac{1}{2}\vec{y}$$ * $$\vec{BP} = \vec{BC} + \vec{CP} = \vec{y} + \frac{1}{2}\vec{CD}$$. Так как $$\vec{CD} = \vec{BA} = \vec{x}$$, то $$\vec{BP} = \vec{y} + \frac{1}{2}\vec{x} = \frac{1}{2}\vec{x} + \vec{y}$$ * $$\vec{BD} = \vec{BC} + \vec{CD}$$. Так как $$\vec{BC} = \vec{y}$$ и $$\vec{CD} = \vec{BA} = \vec{x}$$, то $$\vec{BD} = \vec{y} + \vec{x} = \vec{x} + \vec{y}$$

Ответ:

• $$\vec{BO} = \frac{1}{2}\vec{x} + \frac{1}{2}\vec{y}$$
• $$\vec{BP} = \frac{1}{2}\vec{x} + \vec{y}$$
• $$\vec{BD} = \vec{x} + \vec{y}$$