Решение задач по геометрии с векторами

1. Построение векторов.

a) $$\frac{1}{3}\vec{m} + 2\vec{n}$$

1. Строим вектор $$\frac{1}{3}\vec{m}$$. Для этого вектор $$\vec{m}$$ делим на три равные части и берем одну из них.
2. Строим вектор $$2\vec{n}$$. Для этого откладываем вектор $$\vec{n}$$ дважды.
3. Складываем векторы $$\frac{1}{3}\vec{m}$$ и $$2\vec{n}$$ по правилу параллелограмма или треугольника.

б) $$3\vec{n} - \vec{m}$$

1. Строим вектор $$3\vec{n}$$. Для этого откладываем вектор $$\vec{n}$$ трижды.
2. Строим вектор $$-\vec{m}$$, который направлен в противоположную сторону вектору $$\vec{m}$$.
3. Складываем векторы $$3\vec{n}$$ и $$-\vec{m}$$ по правилу параллелограмма или треугольника.

2. Выражение векторов через $$\vec{x}$$ и $$\vec{y}$$.

Пусть ABCD - квадрат, $$\vec{x} = \vec{BA}$$, $$\vec{y} = \vec{BC}$$. Точка P - середина CD, O - точка пересечения диагоналей.

Выразим векторы $$\vec{BO}$$, $$\vec{BP}$$, $$\vec{PA}$$ через векторы $$\vec{x}$$ и $$\vec{y}$$.

1. $$\vec{BO} = \vec{BA} + \vec{AO} = \vec{BA} + \frac{1}{2}\vec{AC} = \vec{BA} + \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{BC}) = \vec{x} + \frac{1}{2}(-\vec{x} + \vec{y}) = \frac{1}{2}\vec{x} + \frac{1}{2}\vec{y}$$
2. $$\vec{BP} = \vec{BC} + \vec{CP} = \vec{y} + \frac{1}{2}\vec{CD} = \vec{y} + \frac{1}{2}\vec{BA} = \vec{y} + \frac{1}{2}\vec{x} = \frac{1}{2}\vec{x} + \vec{y}$$
3. $$\vec{PA} = \vec{PD} + \vec{DA} = \frac{1}{2}\vec{CD} + \vec{DA} = \frac{1}{2}\vec{BA} + \vec{DA} = \frac{1}{2}\vec{x} + (-\vec{y}) = \frac{1}{2}\vec{x} - \vec{y}$$

Ответ:

• $$\vec{BO} = \frac{1}{2}\vec{x} + \frac{1}{2}\vec{y}$$
• $$\vec{BP} = \frac{1}{2}\vec{x} + \vec{y}$$
• $$\vec{PA} = \frac{1}{2}\vec{x} - \vec{y}$$