5. На рисунке треугольник МОР – равнобедренный, OP – его основание, МК и ОН – высоты. Докажите, что треугольники МОК и МСН подобны, и найдите длину отрезка СН, если МН = 6, РН = 4, OP = 12.

Доказательство подобия треугольников МОК и МСН:

Рассмотрим треугольники МОК и МСН. Угол М - общий. Угол МКО = углу МНС = 90°. Следовательно, треугольники МОК и МСН подобны по двум углам.

Найдем длину отрезка СН.

Так как треугольник МОР равнобедренный и ОН - высота, то ОН является и медианой. Следовательно, МН = HP = 6 + 4 = 10. MP = MH + HP = 10 + 10 = 20

Из подобия треугольников МОК и МСН следует:

$$\frac{MH}{MK} = \frac{MC}{MO}$$

Треугольник МОР равнобедренный, следовательно МО = МР = 20.

Рассмотрим треугольник МОР. По теореме Пифагора:

$$MO^2 = MP^2 = OH^2 + HP^2$$

$$OH = \sqrt{MO^2 - HP^2} = \sqrt{20^2 - 10^2} = \sqrt{400 - 100} = \sqrt{300} = 10 \sqrt{3}$$

Площадь треугольника MOP можно найти двумя способами:

$$S = \frac{1}{2} \cdot OP \cdot MH = \frac{1}{2} \cdot MK \cdot MP$$

$$\frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 10 \sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot MK \cdot 20$$

$$MK = \frac{12 \cdot 10 \sqrt{3}}{20} = 6 \sqrt{3}$$

Треугольники МОК и МСН подобны, следовательно:

$$\frac{CH}{OK} = \frac{MH}{MK}$$

$$\frac{CH}{OK} = \frac{MH}{MK}$$

$$OK = \frac{1}{2} OP = \frac{1}{2} 12 = 6$$

$$CH = \frac{MH \cdot OK}{MK} = \frac{10 \cdot 6}{6 \sqrt{3}} = \frac{10}{\sqrt{3}} = \frac{10 \sqrt{3}}{3}$$

Ответ: CH = $$\frac{10 \sqrt{3}}{3}$$