На рисунке 4.36 изображён план квадратного участка, по углам которого растут четыре больших дерева. Владельцы участка хотят увеличить его площадь вдвое так, чтобы деревья остались вне участка и участок остался квадратным.

Решение:

Для того чтобы увеличить площадь квадратного участка вдвое и при этом сохранить его форму (квадратной), а также расположить деревья по углам нового участка, необходимо увеличить длину стороны квадрата. Если сторона исходного квадратного участка равна \( a \), то его площадь равна \( S_{исх} = a^2 \).

Площадь нового участка должна быть вдвое больше, то есть \( S_{нов} = 2 \times S_{исх} = 2a^2 \).

Новый участок также является квадратом. Пусть его сторона равна \( a_{нов} \). Тогда \( S_{нов} = a_{нов}^2 \).

Приравнивая площади, получаем:

\( a_{нов}^2 = 2a^2 \)

Извлекая квадратный корень из обеих частей, находим длину новой стороны:

\( a_{нов} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2} \)

Таким образом, чтобы увеличить площадь вдвое, длину стороны квадрата нужно увеличить в \( \sqrt{2} \) раз.

Деревья, растущие по углам исходного участка, должны оказаться вне нового, большего участка. Это возможно, если центр нового участка совпадает с центром старого участка, и новый квадрат ориентирован так, что его вершины находятся на продолжении диагоналей старого участка, или же если деревья находятся на некотором расстоянии от границ нового участка.

Однако, если условие "чтобы деревья остались вне участка" означает, что они должны быть за пределами нового квадрата, то это противоречит идее увеличения площади вдвое с сохранением квадратной формы и размещением деревьев по углам. Если же имеется в виду, что деревья должны быть по углам нового, увеличенного участка, то решение будет:

Чтобы увеличить площадь квадратного участка вдвое, нужно увеличить длину его стороны в \( \sqrt{2} \) раз.

Ответ: Чтобы увеличить площадь квадратного участка вдвое, длину его стороны нужно увеличить в \( \sqrt{2} \) раз. Деревья, растущие по углам старого участка, останутся вне нового, большего участка, если новый участок будет построен вокруг старого, с тем же центром.