Из листа бумаги размером 20 х 20 см вырезали прямоугольник со сторонами 12 см и 18 см.

Решение:

1. Найдём площадь исходного листа бумаги:

\( S_{лист} = 20 \text{ см} \times 20 \text{ см} = 400 \text{ см}^2 \)

2. Найдём площадь вырезанного прямоугольника:

\( S_{прямоугольник} = 12 \text{ см} \times 18 \text{ см} = 216 \text{ см}^2 \)

3. Найдём площадь оставшейся бумаги (остатка):

\( S_{остаток} = S_{лист} - S_{прямоугольник} = 400 \text{ см}^2 - 216 \text{ см}^2 = 184 \text{ см}^2 \)

а) Можно ли из остатка вырезать квадрат со стороной 9 см?

Площадь квадрата со стороной 9 см равна:

\( S_{квадрат} = 9 \text{ см} \times 9 \text{ см} = 81 \text{ см}^2 \)

Так как площадь остатка (184 см²) больше площади квадрата (81 см²), то вырезать такой квадрат возможно.

б) Какой квадрат наибольшей площади можно вырезать из остатка?

Из остатка бумаги размером 20 х 20 см, после вырезания прямоугольника 12 х 18 см, можно получить остаток различной формы. Наибольший квадрат, который можно вырезать, зависит от того, как был вырезан прямоугольник. Рассмотрим два случая:

1. Если прямоугольник вырезан из угла:
   Из листа 20х20 см вырезан прямоугольник 12х18 см. Возможны два варианта расположения остатка:
   
   • Остаток имеет форму буквы "Г": две полосы 20х8 см и 12х2 см (или 8х12 и 18х2). Максимальный квадрат, который можно вырезать из полосы 20х8, будет 8х8 см.
   • Остаток состоит из двух частей: 20х2 см и 12х8 см (или 8х2 и 18х12). Максимальный квадрат из полосы 20х2 будет 2х2 см. Максимальный квадрат из части 12х8 будет 8х8 см.

   В этом случае наибольший квадрат будет 8х8 см.

2. Если прямоугольник вырезан из середины:
   Это невозможно, так как лист бумаги 20х20 см.

Однако, если рассматривать только площадь остатка, то наибольший квадрат, который теоретически можно вырезать из площади 184 см², будет иметь сторону \( \sqrt{184} \approx 13.56 \) см. Но учитывая форму остатка, это не всегда возможно.

Наиболее вероятный сценарий, когда прямоугольник вырезается из угла листа. В этом случае, чтобы максимизировать размер квадрата, нужно оставить полосу максимально возможной ширины. Если вырезать 18 см по одной стороне листа (20 см), останется полоса 2 см. Если вырезать 12 см по другой стороне листа (20 см), останется полоса 8 см. Из полосы 8 см можно вырезать квадрат 8х8 см.

Если мы вырезаем 12 см по стороне 20 см, остаётся полоса 8 см. Если мы вырезаем 18 см по стороне 20 см, остаётся полоса 2 см. Тогда мы можем вырезать квадрат 8х8 см.

Другой вариант: вырезать 18 см по стороне 20 см, остаётся полоса 2 см. Вырезать 12 см по стороне 20 см, остаётся полоса 8 см. Тогда мы можем вырезать квадрат 8х8 см.

Если вырезать 12х18 из угла, то останется полоса 8х20 и 2х12. Из 8х20 можно вырезать квадрат 8х8. Из 2х12 можно вырезать 2х2. Максимальный квадрат — 8х8.

Если вырезать 18х12 из угла, то останется полоса 2х20 и 8х18. Из 2х20 можно вырезать 2х2. Из 8х18 можно вырезать 8х8. Максимальный квадрат — 8х8.

Уточнение: Если мы можем расположить вырезку произвольно, то наибольший квадрат, который можно вырезать из оставшейся площади 184 см², имеет площадь 81 см² (сторона 9 см, как в пункте а) или даже больше.

Предположим, что лист 20х20, и вырезаем 12х18. Остаток: 8х20 и 12х2 (если вырезали 12 вдоль 20). Из 8х20 можно вырезать квадрат 8х8. Из 12х2 можно вырезать 2х2. Максимум 8х8.

Если вырезать 18 вдоль 20, останется 2х20. И 12х2. Из 2х20 можно вырезать 2х2. Из 12х2 можно вырезать 2х2. Максимум 2х2.

Если вырезать 12х18 из угла, то останется полоса 8х12 и 2х20. Из 8х12 можно вырезать 8х8. Из 2х20 можно вырезать 2х2. Максимум 8х8.

Если вырезать 18х12 из угла, то останется полоса 2х18 и 8х20. Из 2х18 можно вырезать 2х2. Из 8х20 можно вырезать 8х8. Максимум 8х8.

Ответ: а) Да. б) Наибольший квадрат, который можно вырезать, будет иметь сторону 8 см (площадь 64 см²), при условии, что прямоугольник вырезан из угла листа.