145 На приёме в посольстве встретились две делегации, в каждой из которых было несколько дипломатов (больше одного). Каждый дипломат одной делегации пожал руку каждому дипломату второй делегации. Сколько было членов в каждой делегации, если всего произошло 143 рукопожатия?

Пусть в первой делегации $$x$$ дипломатов, а во второй $$y$$ дипломатов. Каждый дипломат первой делегации пожал руку каждому дипломату второй делегации, значит, общее количество рукопожатий равно $$x \cdot y = 143$$. Нужно найти такие $$x$$ и $$y$$, что $$x > 1$$, $$y > 1$$ и $$x \cdot y = 143$$. Разложим 143 на простые множители: $$143 = 11 \cdot 13$$. Следовательно, одна делегация состояла из 11 дипломатов, а другая из 13 дипломатов.