11. На гипотенузу АВ прямоугольного треугольника АВС опустили высоту СН. Биссектриса АЕ пересекает её в точке К. Докажите, что СЕ = СК.

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. CH - высота, опущенная на гипотенузу AB, AE - биссектриса угла A.

Рассмотрим треугольник ACE. Угол CAE равен половине угла A, так как AE - биссектриса. То есть, ∠CAE = \(\frac{1}{2}\) ∠A.

Рассмотрим треугольник ACK. Угол AKC - внешний угол для треугольника AKE и равен сумме углов KAE и AEK: ∠AKC = ∠KAE + ∠KEA.

Угол AEK равен 90° - ∠EAC (так как в прямоугольном треугольнике AHE сумма острых углов равна 90°). Значит, ∠AKC = \(\frac{1}{2}\) ∠A + (90° - \(\frac{1}{2}\) ∠A) = 90°.

Рассмотрим треугольник CKE. В этом треугольнике ∠KCE = 90° - ∠CAE = 90° - \(\frac{1}{2}\) ∠A. И ∠KEC = 90° - ∠KEA = \(\frac{1}{2}\) ∠A.

Так как ∠KCE = ∠KEA, треугольник CKE равнобедренный. Значит, CE = CK.

Ответ: CE = CK.

Проверка за 10 секунд: Биссектриса делит угол пополам.

Доп. профит: База. Сумма углов в треугольнике равна 180°.