13. ★ На сторонах АВ и AD квадрата ABCD взяли точки M и N так, что угол МСП равен 40°, а угол CMN равен 70°. Найдите угол CND. ( рис.)

Пусть ABCD - квадрат. M лежит на AB, N лежит на AD, ∠MCN = 40°, ∠CMN = 70°.

Так как ABCD - квадрат, все его углы прямые, то есть равны 90°. Также, все стороны квадрата равны.

Рассмотрим треугольник CMN. Сумма углов в треугольнике равна 180°, значит, ∠MCN + ∠CMN + ∠CNM = 180°. Отсюда ∠CNM = 180° - ∠MCN - ∠CMN = 180° - 40° - 70° = 70°.

Поскольку углы CMN и CNM равны, треугольник CMN равнобедренный, и CM = CN.

В прямоугольном треугольнике CDM: ∠CDM = 90°. Угол CND является частью угла CDA. ∠CND = ∠CDA - ∠ADN. Так как ABCD - квадрат, AD = CD.

Рассмотрим треугольники MCD и NCD. У них CD - общая сторона, CM = CN (доказано выше), и ∠MCD = ∠NCD (треугольник CMN равнобедренный).

Следовательно, треугольники MCD и NCD равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, ∠CND = ∠CMD.

Найдем ∠CMD. ∠CMD = 180° - ∠CMN = 180° - 70° = 110°.

Теперь найдем ∠CND = 110°.

Ответ: 110°

Проверка за 10 секунд: В квадрате все углы прямые и стороны равны.

Доп. профит: База. Свойства квадрата и теорема о сумме углов в треугольнике.