Мячик массой 100 г бросили вертикально вверх. При достижении высоты 5 м мячик вернулся в точку бросания. Определите: 1) изменение потенциальной энергии мячика при его движении вверх; вниз; 2) изменение кинетической энергии мячика при его движении вверх; вниз; 3) работу силы тяжести на всём пути.

Решение:

Дано:

• Масса мячика: \( m = 100 \text{ г} = 0.1 \) кг
• Максимальная высота подъёма: \( h_{max} = 5 \) м
• Начальное и конечное положение: точка бросания (высота \( h = 0 \))

1. Изменение потенциальной энергии:

Потенциальная энергия определяется как \( E_p = mgh \).

• При движении вверх:

Начальная высота \( h_{начальная} = 0 \) м (точка бросания).

Конечная высота \( h_{конечная} = 5 \) м (максимальная высота).

\( \Delta E_p^{\text{вверх}} = E_{p, \text{конечная}} - E_{p, \text{начальная}} = mgh_{max} - mg(0) = mgh_{max} \)

\( \Delta E_p^{\text{вверх}} = 0.1 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 \cdot 5 \text{ м} = 4.9 \) Дж

Изменение потенциальной энергии при движении вверх равно 4.9 Дж.

• При движении вниз:

Начальная высота \( h_{начальная} = 5 \) м (максимальная высота).

Конечная высота \( h_{конечная} = 0 \) м (точка бросания).

\( \Delta E_p^{\text{вниз}} = E_{p, \text{конечная}} - E_{p, \text{начальная}} = mg(0) - mgh_{max} = -mgh_{max} \)

\( \Delta E_p^{\text{вниз}} = -0.1 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 \cdot 5 \text{ м} = -4.9 \) Дж

Изменение потенциальной энергии при движении вниз равно -4.9 Дж.

2. Изменение кинетической энергии:

Кинетическая энергия определяется как \( E_k = \frac{1}{2}mv^2 \).

• При движении вверх:

Начальная скорость \( v_0 \) (неизвестна, но есть максимальная высота, значит, скорость в верхней точке \( v_{max} = 0 \)).

\( \Delta E_k^{\text{вверх}} = E_{k, \text{конечная}} - E_{k, \text{начальная}} = \frac{1}{2}mv_{max}^2 - \frac{1}{2}mv_0^2 = 0 - \frac{1}{2}mv_0^2 = -\frac{1}{2}mv_0^2 \).

Для нахождения \( v_0 \) используем закон сохранения энергии или кинематику. Используем кинематику: \( v^2 = v_0^2 + 2as \).

\( 0^2 = v_0^2 + 2(-9.8)(5) \)

\( 0 = v_0^2 - 98 \)

\( v_0^2 = 98 \) м²/с²

\( \Delta E_k^{\text{вверх}} = -\frac{1}{2}m v_0^2 = -\frac{1}{2} 0.1 \text{ кг} \cdot 98 \text{ м}^2/\text{с}^2 = -4.9 \) Дж

Изменение кинетической энергии при движении вверх равно -4.9 Дж.

• При движении вниз:

Начальная скорость \( v_{начальная} = 0 \) (в верхней точке).

Конечная скорость \( v_{конечная} \) (в точке бросания, по закону сохранения энергии, равна начальной скорости \( v_0 \)).

\( \Delta E_k^{\text{вниз}} = E_{k, \text{конечная}} - E_{k, \text{начальная}} = \frac{1}{2}mv_{конечная}^2 - \frac{1}{2}mv_{начальная}^2 = \frac{1}{2}mv_0^2 - 0 = \frac{1}{2}mv_0^2 \).

\( \Delta E_k^{\text{вниз}} = \frac{1}{2} 0.1 \text{ кг} \cdot 98 \text{ м}^2/\text{с}^2 = 4.9 \) Дж

Изменение кинетической энергии при движении вниз равно 4.9 Дж.

3. Работа силы тяжести на всём пути:

Работа силы тяжести равна изменению кинетической энергии с обратным знаком, или отрицательному изменению потенциальной энергии.

Работа на всём пути: \( A_g^{\text{весь путь}} = E_{k, \text{конечная}} - E_{k, \text{начальная}} \).

Начальное положение - точка бросания, \( E_k = \frac{1}{2}mv_0^2 \).

Конечное положение - точка бросания, \( E_k = \frac{1}{2}mv_{конечная}^2 \).

Поскольку мячик вернулся в точку бросания, его конечная скорость равна начальной скорости (если пренебречь сопротивлением воздуха).

\( E_{k, \text{конечная}} = E_{k, \text{начальная}} \).

Следовательно, \( A_g^{\text{весь путь}} = 0 \) Дж.

Или, через потенциальную энергию: Начальная \( E_{p, \text{начальная}} = 0 \), конечная \( E_{p, \text{конечная}} = 0 \).

\( \Delta E_p^{\text{весь путь}} = 0 - 0 = 0 \).

Работа силы тяжести \( A_g = -\Delta E_p = -0 = 0 \) Дж.

Ответ:

• 1) Изменение потенциальной энергии: вверх — 4.9 Дж; вниз — -4.9 Дж.
• 2) Изменение кинетической энергии: вверх — -4.9 Дж; вниз — 4.9 Дж.
• 3) Работа силы тяжести на всём пути равна 0 Дж.