Мячик массой 100 г бросили вертикально вверх. При достижении высоты 5 м мячик вернулся в точку бросания. Определите: 1) изменение потенциальной энергии мячика при его движении вверх; вниз; 2) изменение кинетической энергии мячика при его движении вверх; вниз; 3) работу силы тяжести на всём пути.

Решение:

Дано:

• Масса мячика \( m = 100 \) г = 0.1 кг
• Высота подъёма \( H = 5 \) м
• Начальная скорость \( v_0 \) (найдем её позже)
• Конечная скорость \( v_{конечная} \) (равна начальной скорости, но направлена вниз)

1. Изменение потенциальной энергии:

При движении вверх:

\( E_{p, \text{начальная}} = 0 \) (примем точку бросания за нулевой уровень).

\( E_{p, \text{верхняя}} = m g H = 0.1 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 5 \text{ м} = 5 \text{ Дж} \)

\( \Delta E_p^{\text{вверх}} = E_{p, \text{верхняя}} - E_{p, \text{начальная}} = 5 \text{ Дж} - 0 \text{ Дж} = 5 \text{ Дж} \)

При движении вниз:

\( E_{p, \text{начальная}} \) (при движении вниз) = \( E_{p, \text{верхняя}} = 5 \text{ Дж} \)

\( E_{p, \text{конечная}} \) (в точке бросания) = 0 Дж

\( \Delta E_p^{\text{вниз}} = E_{p, \text{конечная}} - E_{p, \text{начальная}} = 0 \text{ Дж} - 5 \text{ Дж} = -5 \text{ Дж} \)

2. Изменение кинетической энергии:

Сначала найдём начальную скорость \( v_0 \), используя закон сохранения энергии для подъёма:

\( E_{k, \text{начальная}} + E_{p, \text{начальная}} = E_{k, \text{верхняя}} + E_{p, \text{верхняя}} \)

\( \frac{1}{2}mv_0^2 + 0 = 0 + mgH \)

\[ \frac{1}{2}mv_0^2 = mgH \]
\[ v_0^2 = 2gH \]
\[ v_0 = \sqrt{2gH} = \sqrt{2 \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 5 \text{ м}} = \sqrt{100 \text{ м}^2/\text{с}^2} = 10 \text{ м/с} \]Теперь найдём начальную кинетическую энергию:

\[ E_{k, \text{начальная}} = \frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2} \cdot 0.1 \text{ кг} \cdot (10 \text{ м/с})^2 = \frac{1}{2} \cdot 0.1 \text{ кг} \cdot 100 \text{ м}^2/\text{с}^2 = 5 \text{ Дж} \]При движении вверх:

\( E_{k, \text{верхняя}} \) (на максимальной высоте) = 0 Дж (так как скорость равна 0).

\( \Delta E_k^{\text{вверх}} = E_{k, \text{верхняя}} - E_{k, \text{начальная}} = 0 \text{ Дж} - 5 \text{ Дж} = -5 \text{ Дж} \)

При движении вниз:

\( E_{k, \text{начальная}} \) (при движении вниз) = \( E_{k, \text{верхняя}} = 0 \) Дж.

\( E_{k, \text{конечная}} \) (в точке бросания) = \( E_{k, \text{начальная}} \) (при движении вверх) = 5 Дж (по закону сохранения энергии, если пренебречь сопротивлением воздуха).

\( \Delta E_k^{\text{вниз}} = E_{k, \text{конечная}} - E_{k, \text{начальная}} = 5 \text{ Дж} - 0 \text{ Дж} = 5 \text{ Дж} \)

3. Работа силы тяжести на всём пути:

Работа силы тяжести при движении вверх равна \( -5 \) Дж (так как \( \Delta E_p^{\text{вверх}} = 5 \) Дж).

Работа силы тяжести при движении вниз равна \( +5 \) Дж (так как \( \Delta E_p^{\text{вниз}} = -5 \) Дж).

Полная работа силы тяжести на всём пути:

\[ A_{\text{тяж, полный}} = A_{\text{тяж, вверх}} + A_{\text{тяж, вниз}} = -5 \text{ Дж} + 5 \text{ Дж} = 0 \text{ Дж} \]Это логично, так как мячик вернулся в исходную точку, и перемещение относительно силы тяжести равно нулю.

Ответ:
1) Изменение потенциальной энергии: вверх — 5 Дж; вниз — -5 Дж.
2) Изменение кинетической энергии: вверх — -5 Дж; вниз — 5 Дж.
3) Работа силы тяжести на всём пути: 0 Дж.