3. 1) lim x→0 cos 3x - ex² arctg25x ;

Ответ: 1/5

Шаг 1: Преобразуем предел, используя эквивалентные бесконечно малые.

Для малых x: arctg(5x) \(\sim\) 5x, arctg²(5x) \(\sim\) (5x)² = 25x²

cos(3x) = 1 - (3x)²/2 + O(x⁴) = 1 - 9x²/2 + O(x⁴)

e^(x²) = 1 + x² + O(x⁴)

Тогда:

Шаг 2: Подставим в исходный предел:

\[\lim_{x \to 0} \frac{cos 3x - e^{x^2}}{arctg^2 5x} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \frac{9x^2}{2} - (1 + x^2)}{25x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{9x^2}{2} - x^2}{25x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{11x^2}{2}}{25x^2}\]

Шаг 3: Сократим x² и вычислим предел:

\[\lim_{x \to 0} \frac{-\frac{11}{2}}{25} = -\frac{11}{50}\]

Шаг 4: Вычислим предел, используя правило Лопиталя:

Пусть f(x) = cos(3x) - e^(x²) и g(x) = arctg²(5x).

f'(x) = -3sin(3x) - 2xe^(x²), f''(x) = -9cos(3x) - 2e^(x²) - 4x²e^(x²)

g'(x) = 2arctg(5x) \(\cdot\) 5/(1 + (5x)²) = 10arctg(5x) / (1 + 25x²), g''(x) = 10 \(\cdot\) [5(1 + 25x²) - arctg(5x) \(\cdot\) 50x] / (1 + 25x²)²

В точке x = 0:

f(0) = 1 - 1 = 0, f'(0) = 0, f''(0) = -9 - 2 = -11

g(0) = 0, g'(0) = 0, g''(0) = 50

Тогда:

\[\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{f''(x)}{g''(x)} = \frac{-11}{50}\]

Ответ: -11/50