2) lim (ctgx-1). x→0 x

Ответ: -∞

Шаг 1: Преобразуем выражение в пределе:

\[\lim_{x \to 0} \left( \cot x - \frac{1}{x} \right) = \lim_{x \to 0} \left( \frac{\cos x}{\sin x} - \frac{1}{x} \right) = \lim_{x \to 0} \frac{x \cos x - \sin x}{x \sin x}\]

Шаг 2: Оценим поведение функции при x → 0.

Разложим cos x и sin x в ряд Тейлора:

cos x = 1 - x²/2 + O(x⁴)

sin x = x - x³/6 + O(x⁵)

Тогда:

\[\lim_{x \to 0} \frac{x(1 - \frac{x^2}{2}) - (x - \frac{x^3}{6})}{x(x - \frac{x^3}{6})} = \lim_{x \to 0} \frac{x - \frac{x^3}{2} - x + \frac{x^3}{6}}{x^2 - \frac{x^4}{6}} = \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{x^3}{3}}{x^2} = \lim_{x \to 0} -\frac{x}{3} = 0\]

Шаг 3: Применим правило Лопиталя:

Пусть f(x) = x cos x - sin x, g(x) = x sin x.

f'(x) = cos x - x sin x - cos x = -x sin x

g'(x) = sin x + x cos x

f''(x) = -sin x - x cos x

g''(x) = cos x + cos x - x sin x = 2cos x - x sin x

При x → 0:

f(0) = 0, f'(0) = 0, f''(0) = 0

g(0) = 0, g'(0) = 0, g''(0) = 2

Тогда:

\[\lim_{x \to 0} \frac{-x \sin x}{\sin x + x \cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{-\sin x - x \cos x}{\cos x + \cos x - x \sin x} = \frac{0}{2} = 0\]

Однако, если x стремится к 0 справа (x → 0+), то ctg(x) стремится к +∞, а 1/x также стремится к +∞. В этом случае имеем неопределенность вида ∞ - ∞.

При x -> 0+ ctg(x) - 1/x эквивалентно -x/3.

Поскольку предел lim (x->0+) (-x/3) = 0, предел lim (x->0+) (ctg(x) - 1/x) также равен 0.

Ответ: 0