4. 1) lim x→0 √1 + x² - cos 4x ln² (1 + x) ;

Ответ: 17/2

Шаг 1: Разложим функции в ряд Тейлора в окрестности x = 0.

\[\sqrt{1+x^2} = 1 + \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{8}x^4 + O(x^6)\] \[\cos(4x) = 1 - \frac{(4x)^2}{2!} + \frac{(4x)^4}{4!} + O(x^6) = 1 - 8x^2 + \frac{16}{3}x^4 + O(x^6)\] \[\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + O(x^4)\] \[\ln^2(1+x) = (x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + O(x^4))^2 = x^2 - x^3 + \frac{11}{12}x^4 + O(x^5)\]

Шаг 2: Подставим разложения в предел.

\[\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x^2} - \cos 4x}{\ln^2 (1 + x)} = \lim_{x \to 0} \frac{(1 + \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{8}x^4) - (1 - 8x^2 + \frac{16}{3}x^4)}{x^2 - x^3 + \frac{11}{12}x^4} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{17}{2}x^2 - (\frac{16}{3} + \frac{1}{8})x^4}{x^2 - x^3 + \frac{11}{12}x^4}\]

Шаг 3: Упростим выражение и найдем предел.

\[\lim_{x \to 0} \frac{\frac{17}{2}x^2 - \frac{131}{24}x^4}{x^2 - x^3 + \frac{11}{12}x^4} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2(\frac{17}{2} - \frac{131}{24}x^2)}{x^2(1 - x + \frac{11}{12}x^2)} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{17}{2} - \frac{131}{24}x^2}{1 - x + \frac{11}{12}x^2} = \frac{\frac{17}{2}}{1} = \frac{17}{2}\]

Ответ: 17/2