2. Клиент взял в банке кредит 100 рублей на n месяцев с условием, что по окончании первого месяца выплатит банку \(\frac{1}{n}\) часть кредита, а в каждый последующий месяц выплата будет на 5 рублей больше, чем в предыдущий. Известно, что в последний месяц выплата составила 55 руб. На какой срок был выдан кредит, если известно, что этот срок превышал полгода?

Решение: Пусть \(a_1\) - первый платеж, а \(a_n\) - последний. Тогда \(a_n = 55\). Разность арифметической прогрессии \(d = 5\). Сумма всех платежей равна 100 рублям. Воспользуемся формулой суммы арифметической прогрессии: \(S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} * n\) Подставим известные значения: \(100 = \frac{a_1 + 55}{2} * n\) Также известно, что \(a_n = a_1 + (n-1)d\), поэтому \(55 = a_1 + (n-1)5\). Выразим \(a_1\) из второго уравнения: \(a_1 = 55 - 5(n-1) = 60 - 5n\) Подставим это в первое уравнение: \(100 = \frac{60 - 5n + 55}{2} * n\) \(200 = (115 - 5n)n\) \(200 = 115n - 5n^2\) \(5n^2 - 115n + 200 = 0\) \(n^2 - 23n + 40 = 0\) Решим квадратное уравнение: \(D = (-23)^2 - 4 * 1 * 40 = 529 - 160 = 369\) \(n_1 = \frac{23 + \sqrt{369}}{2} \approx 21.1\) \(n_2 = \frac{23 - \sqrt{369}}{2} \approx 1.9\) Так как срок кредита должен быть больше полугода (6 месяцев), то подходит только \(n_1\) \(\approx 21.1\). Поскольку \(n\) должно быть целым числом, то округляем до 21. Ответ: 21 месяц.